Statistique descriptive : Fréquences cumulées et fonction de répartition

Fréquences cumulées


Pour les variables qualitatives ordinales et pour les variables quantitatives, on peut exploiter la relation d’ordre existant entre les valeurs possibles de la variable. On définit ainsi les distributions cumulées (tableau ci-dessous).

Distributions cumulées
$i$	Valeurs	Effectifs	Fréquences	Effectifs Cumulés	Fréquences Cumulées
1	$x_1$	$n_1$	$f_1$	$n_1$	$f_1$
2	$x_2$	$n_2$	$f_2$	$n_1 + n_2$	$f_1 + f_2$
.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.
$k-1$	$x_{k-1}$	$n_{k-1}$	$f_{k-1}$	$n_1 + n_2 + \ldots + n_{k-1}$	$f_1 + f_2 + \ldots + f_{k-1}$
$k$	$x_k$	$n_k$	$f_k$	$n_1 + n_2 + \ldots + n_k = N$	$f_1 + f_2 + \ldots + f_k = 1$

Exemple : cette notion est illustrée à l’aide de l’exemple des CSP par le tableau ci-dessous:

Fonction de répartition

Cette notion ne concerne que les variables quantitatives.

Définition : la fonction de répartition du caractère $X$ est la fonction $F$ , allant de l’ensemble des réels vers $[0,1]$, définie par : $F(x) = $ proportion d’individus de l’échantillon dont la valeur de $X$ est $< x$.

Dans la pratique, on ne l’utilisera que pour des variables continues. Pour ces dernières, la détermination de la fonction de répartition se fait de la manière suivante.

Soit $X$ une variable continue, dont les valeurs sont rangées en classes $[a_0 , a_1[ ,\ldots ,[a_{k-1},a_k[$ , avec des fréquences $f_1, \ldots , f_k$.

- On commence par calculer les valeurs de F aux points du découpage :
$$ F(a_0) = 0 , \ F(a_1)= f_1, \ \ldots , F(a_{k-1}) = f_1 + f_2 + \ldots +f_{k-1} , \  F(a_k) = f_1 + f_2 + \ldots + f_k $$.

- Ensuite, dans chaque classe $[a_{i-1},a_i[$, on fait une interpolation linéaire (on relie les points extrêmes par un segment de droite).

- Puis on prolonge la courbe par $0$ à gauche de $a_0$ et par $1$ à droite de $a_k$ (figure ci-dessous).

Exemple : cette notion est illustrée à l’aide de l’exemple des CSP par le tableau ci-dessous :